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Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).

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Soluzione esercizio n°48 pag. 365 (Chimica concetti e modelli.blu – Dalla struttura atomica all’elettrochimica)

Testo

Uno sciroppo contiene 18,0% m/m di saccarosio C12H22O11 e ha densità 1,07g/mL.

  • Quanti grammi di zucchero sono contenuti in 1 L di soluzione?
  • Quali sono molarità e molalità della soluzione?

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Soluzione esercizio n.11 pag. 233 (Le traiettorie della fisica.azzurro, seconda edizione)

Testo

Un operaio di una ditta di traslochi vorrebbe appoggiare un pianoforte di massa 275 kg su un solaio che può sopportare al massimo una pressione di \( 6\cdot10^{3}Pa \).

Quale superficie di appoggio minima deve avere il pianoforte per non provocare danni al solaio?

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Soluzione pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza.

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Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Si voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}

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Esercizio: disequazione di secondo grado logaritmica

Si vogliono trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

[log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0

Soluzione

Per risolvere la disequazione si pone:

t=log_{2}(x+5)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

t^{2}-t-6>0

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow

Da cui:

t_{1}=-2 e t_{2}=3

E quindi, essendo che t^{2}-t-6 ha il coefficiente a>0 (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddistatta per valori di t nei seguenti intervalli:

t<-2 \vee t>3

Ricordiamo ora che:

t=log_{2}(x+5)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

(x+5) > 0 \rightarrow

x>-5

Quindi si accettano soluzioni della [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0 solo se x>-5.

D’altra parte se è vero che t=log_{2}(x+5) deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3

Ovvero dovrebbe essere che:

(x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8

E quindi:

x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Ma siccome doveva essere che x>-5 le soluzioni sono:

-5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

logaritmo.png
Figura 1. in rosso la funzione y=[log(2,x+5)]^{2}-log(2,x+5)-6. In violetto le regioni in cui è positiva (maggiore di zero). La funzione risulta effettivamente essere positiva per -5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

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