Esercizio di calcolo integrale non immediato

Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}

Soluzione

Come primo passaggio si può riscrivere come segue:

\arcsin x-\int \sqrt{1-x^{2}}

Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ha:

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{-x^{2}+(1-1)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

Per la quantità tra parentesi quadre si nota che:

\int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Quindi:

2 \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Ovvero:

\int \sqrt{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}

Quindi tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:

\arcsin x-\left[\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]+c

Il termine costante  definisce le altre primitive.

Al finale, sommando, si ha che:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+c

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Calcolo del campo elettrico generato da due cariche elettriche

Testo

Un triangolo rettangolo ha l’angolo in B di 30° e l’ipotenusa BC che misura 80.0cm. Nei vertici A e B sono fissate due cariche  Q_A=-2,4\mu C e Q_B=-9,6\mu C.

  • Disegna i campi elettrici prodotti dalle due cariche nel vertice C e calcola i moduli dei due campi
  • Disegna il campo elettrico totale in C e calcola il suo modulo

Continua a leggere “Calcolo del campo elettrico generato da due cariche elettriche”

Esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 sia tangente alla retta di equazione 4x - 9y - 6 = 0. Continua a leggere “Esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)”

Esercizio n°48 pag. 365 (Chimica concetti e modelli.blu – Dalla struttura atomica all’elettrochimica)

Testo

Uno sciroppo contiene 18,0% m/m di saccarosio C12H22O11 e ha densità 1,07g/mL.

  • Quanti grammi di zucchero sono contenuti in 1 L di soluzione?
  • Quali sono molarità e molalità della soluzione?

Continua a leggere “Esercizio n°48 pag. 365 (Chimica concetti e modelli.blu – Dalla struttura atomica all’elettrochimica)”

Esercizio di chimica sul reagente in eccesso (Università di Biologia)

In collaborazione con: Francesco Atzeni

Testo

Data la seguente reazione chimica:

Al + Cl_{2} \rightarrow Al_{2}Cl_{6}

Bilanciare la reazione e determinare il numero di moli in eccesso di Alluminio supponendo di avere 5.40g di Al e 8.10g di Cl_{2}. Continua a leggere “Esercizio di chimica sul reagente in eccesso (Università di Biologia)”