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Come risolvere esercizio n.32 pag.177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 32  pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta r_{AB} che passa per  due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.

Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta r_{AB} e un punto C sull’asse delle ascisse.

1         Testo

Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti  \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).

1          Soluzione

La retta passante per AB deve essere parallela alla retta  \( r: y=3x+1
\) con \( m_r=3\).

Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette
devono essere uguali:

\(
m_{AB}=m_r \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) \)

Determiniamo il coefficiente angolare tra i due punti:

\( m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{m-2}{1-m-1}=\frac{m-2}{-m}=-\frac{m-2}{m} \)

Per la (1), deve essere:

\( -\frac{m-2}{m}=3\)

da cui

\( -(m-2)=3m\)

\( -m+2-3m=0\)

\( -4m=-2\)

\( m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

quindi

\( m= \frac{1}{2}\)

Determiniamo le coordinate dei punti A e B, sostituendo il valore di \(
m=\frac{1}{2} \):

\( (m+1;2)\rightarrow\left(\frac{1}{2}+1 ; 2\right)\rightarrow A\left(\frac{3}{2}
; 2\right)\)

e

\( B(1;m)\rightarrow B\left(1;\frac{1}{2}\right)\)

Determiniamo il punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta data \(
y=x+1 \).

Risolvendo il seguente sistema:

\( \left \{ \begin{matrix} y=x+1 \\ y=0 \end{matrix} \right. \)

da cui:

\( x+1=0\rightarrow x=-1 \)

otteniamo le coordinate del punto \( C(-1,0)\).

Utilizzando la formula distanza
tra due punti:

\( d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}\)

calcoliamo i lati del triangolo:

\( AB=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\)

\( BC=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{17}\)

\( AC=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}\)

Ora possiamo calcolare il perimetro del triangolo:

\( P=AB+BC+AC=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\sqrt{41}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{41}\right)\)

 

Figura 1. Rappresentazione completa della situazione proposta dal problema. Vengono rappresentate le tre rette discusse in questo esercizio e il triangolo identificato dai tre punti A, B e C.
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Soluzione di un esercizio di calcolo integrale non immediato

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Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}

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Il cambio di volume di aria nella siringa

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Testo

Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0.80mL di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18°C.

  • Quale sarà il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer?

Soluzione

Per la prima legge di Gay-Lussac, espressa per i gradi centigradi, si ha:

\( V = V_0 (1+\alpha t ) \)

In cui:

  • \( V \) è il volume del gas alla temperatura \( t \);
  • \( V_0 \) è il volume del gas alla temperatura di \( 0 ^{\circ}C \);
  • \( \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica del gas ideale, pari a \( \frac {1}{273.14^{\circ}C} \);
  • \( t \) è la temperatura alla quale si trova il corpo.

Ne nostro caso si vuole calcolare il volume finale \( V_f \) del gas a -18°C . Per scoprire il valore del volume del’aria a 0°C si deve ricavare la formula inversa sfruttando volume iniziale \( V_i \), il quale è pari a quello che avrebbe il gas se si trovasse alla temperatura di 20°C.

Quindi:

\( V_0 = \frac{V_i}{(1+\alpha t_i )} \)

In cui:

  • \( V_i \) è il volume iniziale del gas;
  • \( t_i \) è la temperatura iniziale alla quale si trova il corpo, cioè 20°C.

La stessa legge vale per il volume finale e quindi:

\( V_f = V_0 (1+\alpha t_f ) \)

In cui:

  • \( V_f \) è il volume finale del gas;
  • \( t_f \) è la temperatura finale alla quale si trova il corpo, cioè -18°C.

Combinando le informazioni si può scrivere:

\( V_f = \frac{1+\alpha t_f }{1+\alpha t_i } V_i \rightarrow \)

\( V_f = \frac{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (-18^{\circ}C) }{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (20^{\circ}C)} 0.80mL \approx 0.70mL \)

Quindi il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer è di 0.70mL circa.

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Calcolo del campo elettrico generato da due cariche elettriche

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Testo

Un triangolo rettangolo ha l’angolo in B di 30° e l’ipotenusa BC che misura 80.0cm. Nei vertici A e B sono fissate due cariche  Q_A=-2,4\mu C e Q_B=-9,6\mu C.

  • Disegna i campi elettrici prodotti dalle due cariche nel vertice C e calcola i moduli dei due campi
  • Disegna il campo elettrico totale in C e calcola il suo modulo

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Come risolvere esercizio N°132 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

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Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni:

\( \alpha : x-y+2z=0; \beta : 2x – 2y + 8z + 1=0 \)

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Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

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Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 sia tangente alla retta di equazione 4x - 9y - 6 = 0. Continua a leggere Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

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Soluzione esercizio n°48 pag. 365 (Chimica concetti e modelli.blu – Dalla struttura atomica all’elettrochimica)

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Testo

Uno sciroppo contiene 18,0% m/m di saccarosio C12H22O11 e ha densità 1,07g/mL.

  • Quanti grammi di zucchero sono contenuti in 1 L di soluzione?
  • Quali sono molarità e molalità della soluzione?

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Soluzione esercizio n.11 pag. 233 (Le traiettorie della fisica.azzurro, seconda edizione)

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Testo

Un operaio di una ditta di traslochi vorrebbe appoggiare un pianoforte di massa 275 kg su un solaio che può sopportare al massimo una pressione di \( 6\cdot10^{3}Pa \).

Quale superficie di appoggio minima deve avere il pianoforte per non provocare danni al solaio?

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Soluzione pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

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Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza.

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Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Reading Time: < 1 minuteSi voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}