Reading Time: 3 minutes
Testo
Quattro conduttori paralleli tra loro sono fissati ai vertici di un quadrato, come mostrato in figura, di lato \( l=1.0cm \)
. In tutti i fili circola una corrente di \( 10A \), nei fili 1,2 e 3 uscenti dal foglio, nel filo 4 entrante.
Calcola modulo, direzione e verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.
Prerequisiti
Per risolvere questo problema è necessario conoscere:
- La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
- Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
- Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
- I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.
Soluzione
Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente
\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l _f \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)
In cui:
- \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
- \( \mu \) è una costante, di cui
è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili; - \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
- \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
- \( d \) è la distanza tra i due fili;
- \( l _f \) è la lunghezza dei fili;
- \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.
Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:
\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)
e
\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)
e
\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{14}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)
Il reale valore della lunghezza dei fili \( l _f \) è, hai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.
La somma vettoriale tra i vettori richiesti è:
\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} + \vec{\boldsymbol{F}}_{14}\)
Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l _f \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l _f \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.
Di seguito la rappresentazione dei vettori coinvolti.
Per trovare la risultante si immagini un piano cartesiano centrato sul filo 1. Per le componenti orizzontali si ha:![]()
\( F_{tot, x}=\left\|\vec{F}_{12}\right\|+\left\|\vec{F}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Per le componenti verticali si ha:
\( F_{tot, y}=\left\|\vec{F}_{14}\right\|-\left\|\vec{F}_{13}\right\| \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}}-\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Siccome \( d_{12}=d_{14}=l \), \( d_{13}= \sqrt{2}l\) e considerando che \( \mu = \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}\) si ha:
\( F_{tot, x}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3} \frac{1}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200+100}{2}\right)=0.003 N \)
\( F_{tot, y}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{4}-i_{1} i_{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200-100 \sqrt{2}}{2}\right)=0.000585 N \)
\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{tot}\right\|=\sqrt{F_{tot, x}^{2}+F_{tot, y}^{2}} \approx 3.06 \cdot 10^{-3} N \)
Quindi il modulo della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è di circa \( 3.06 \cdot 10^{-3} N \).
PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor
Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.