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Forza elastica e legge di Hooke- Soluzione esercizio Amaldi blu Pag 102 n°12

Testo

La spinta di un motore di un jet è di circa 7,5×104. Immaginando di misurarla con un dinamometro si potrebbe determinare un allungamento l. Misurando la forza dei motori di un’astronave, l’allungamento sarebbe 400 volte l.

Quale forza produce il motore dell’astronave?

Soluzione

Un dinamometro è uno strumento composto da una molla, utile per misurare una determinata forza. Applicando una forza F si avrà un allungamento l della molla linearmente proporzionale alla forza applicata come descritto dalla legge di Hooke:

\(F={{k}\cdot{l}}\)

Dove F è la forza applicata, k la costante elastica intrinseca della molla ed l l’allungamento. Per il motore del jet abbiamo quindi:

\(F_{jet}={{k}{l}}={{7.5}\cdot{10^{4}}}N\)

Per il motore dell’astronave sapendo che l è 400 volte l’allungamento del motore a jet abbiamo, assumendo di usare lo stesso dinamometro e dunque la stessa costante elastica k:

\(F_{astronave}={{k}\cdot{400l}}={{400}\cdot{7.5}\cdot{10^{4}}}N={{3}\cdot{10^{7}}}N \)

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Esercizio numero 12 pag. 997 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu)

1 Testo

Una spira circolare di raggio 2,5 cm è immersa in un campo magnetico di modulo 0,15T. All’inizio è posta perpendicolarmente alle linee di campo. Successivamente subisce una rotazione di 30°. La rotazione avviene in 10 secondi.

  • Calcola la variazione del flusso del campo magnetico.
  • Calcola la forza elettromagnetica indotta
Vettore di campo magnetico e di superficie, dalla posizione iniziale a quella finale, come dai dati del problema. L’angolo rappresentato in rosso deve essere di 30°.

2 Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema bisogna conoscere i seguenti concetti:

  • campo magnetico;
  • vettore superficie;
  • flusso di campo magnetico;
  • forza elettromotrice indotta.

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Per risolvere il punto 1 dell’esercizio si deve calcolare il flusso del campo nautico finale e il flusso del campo magnetico iniziale, per poi effettuarne la differenza in modo da ricavare la variazione di flusso di campo magnetico.

Si consideri quindi… Se vuoi continuare a vedere la soluzione scarica il documento acquistandolo qui sotto.

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Soluzione esercizio n°14 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

Testo

Quattro conduttori paralleli tra loro sono fissati ai vertici di un quadrato, come mostrato in figura, di lato \( l=1.0cm \). In tutti i fili circola una corrente di \( 10A \), nei fili 1,2 e 3 uscenti dal foglio, nel filo 4 entrante.

Calcola modulo, direzione e verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l _f \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \mu \) è una costante, di cui è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l _f \) è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{14}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili \( l _f \) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale tra i vettori richiesti è:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} + \vec{\boldsymbol{F}}_{14}\)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l _f \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l _f \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Di seguito la rappresentazione dei vettori coinvolti.

Per trovare la risultante si immagini un piano cartesiano centrato sul filo 1. Per le componenti orizzontali si ha:

\( F_{tot, x}=\left\|\vec{F}_{12}\right\|+\left\|\vec{F}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Per le componenti verticali si ha:

\( F_{tot, y}=\left\|\vec{F}_{14}\right\|-\left\|\vec{F}_{13}\right\| \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}}-\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Siccome \( d_{12}=d_{14}=l \), \( d_{13}= \sqrt{2}l\) e considerando che \( \mu = \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}\) si ha:

\( F_{tot, x}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3} \frac{1}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200+100}{2}\right)=0.003 N \)

\( F_{tot, y}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{4}-i_{1} i_{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200-100 \sqrt{2}}{2}\right)=0.000585 N \)

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{tot}\right\|=\sqrt{F_{tot, x}^{2}+F_{tot, y}^{2}} \approx 3.06 \cdot 10^{-3} N \)

Quindi il modulo della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è di circa \( 3.06 \cdot 10^{-3} N \).

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Soluzione esercizio n°29 pag. 915 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

Questo è il testo dell’esercizio n°29 pag. 915 del libro “L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2” con la soluzione a seguire.

Testo

Vuoi sollevare una bacchetta di alluminio dal tavolo. Attacchi quindi alcune calamite a ferro di cavallo sul piano del tavolo in modo da produrre un campo magnetico pressoché uniforme e appoggi la bacchetta, lunga \( 16 \mathrm{cm} \) e di massa \( m=14 g \), su due contatti elettrici posti sul tavolo, in modo che questa sia attraversata da una corrente \( i=34 A \).

  • Come deve essere diretto il campo magnetico perché il sistema congegnato abbia massima efficacia?
  • Quanto dovrebbe valere il campo magnetico per sollevare la bacchetta con accelerazione pari a \( \frac{1}{2} g \)?
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Come risolvere il problema della distanza di arresto dalla carica Q

Testo

Una particella di massa \( m = 3.0 \cdot 10^{-3} Kg \) e carica \( q = 2.0 \cdot 10^{-4} C\) proviene dall’infinito con velocità \( v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s \) e si muove verso una particella di carica \( Q = 4.0 \cdot 10^{-6} C\) tenuta fissa a riposo nel vuoto. La velocità di avvicinamento è diretta lungo la congiungente le due particelle.

Calcola a quale distanza r dalla carica Q la particella di carica q si ferma per un istante.

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Quale è la differenza di potenziale ai capi del condensatore?

Il seguente esercizio è stato tratto dal libro “L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2”.

Testo

Il cannone elettronico di un tubo a raggi catodici produce elettroni con velocità di 0.65 \cdot 10 ^ {7} m/s. Il fascio prodotto attraversa le piastre di un condensatore e gli elettroni subiscono una deviazione dall’asse orizzontale di 2.9 mm. Le armature del condensatore sono lunghe 7.0 cm e distano tra loro di 6.0mm

Calcola la differenza di potenziale che è applicata al condensatore.

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Quanta massa ha l’altro bambino?

Testo

Due bambini sono seduti su ciascuna delle estremità di una tavola lunga 3.5m. La tavola è fissata su un punto che dista 2m dall’estremità su cui si trova un bambino che pesa 400N. Quanto massa ha l’altro bambino?

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Soluzione esercizio n.41 pag. 237 (Le traiettorie della fisica.azzurro – seconda edizione)

In questo esercizio, tratto da un libro intitolato “Le traiettorie della fisica.azzurro – seconda edizione”, viene richiesto di ricavare la densità di un corpo conoscendone: la massa, la densità del liquido nel quale viene immerso e una misurazione effettuata con il dinamometro.

Testo

Un geologo vuole determinare la densità di una roccia che ha trovato. La pone su una bilancia e legge il valore di \( 316g \). Poi appende la roccia a un dinamometro e la immerge in un liquido di densità \( 830kg/m^3 \). Il
dinamometro misura una forza-peso corrispondente a una massa di \( 16g\).

Quanto vale la densità della roccia?

Guy, Man, Male, People, Hand, Hold, Rock, Levitate
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Ragionamenti finanziari: giorno secondo

Dalle argomentazioni sostenute nel giorno precedente abbiamo capito che le persone del tavolo possono decidere quanto denaro far corrispondere a un’oncia, in altre parole possono decidere quanto denaro stampare. Altresì abbiamo appreso che la transazione denaro-prodotto è un motivo di presa (o perdita) di forza della valuta ma che è anche motivo di arricchimento (o impoverimento) di una delle persone sedute al tavolo. Nel particolare abbiamo capito che una persona del tavolo che voglia arricchirsi deve aumentare l’export, ovvero aumentare il flusso di prodotti in uscita (e di conseguenza aumentare anche i flussi del denaro in entrata).

Bisogna tenere in considerazione però che l’arricchimento di un paese avviene quando aumenta la propria giacenza aurea e non quando aumenta la quantità del proprio denaro. Il fatto che il dollaro abbia più potere di acquisto dello yen non presuppone che il Giappone sia meno ricco dell’America. Invece nel caso in cui il Giappone dovesse avere meno giacenza aurea dell’America allora sì che significherebbe che il Giappone è meno ricco dell’America. La forza della valuta di un paese rispetto alla valuta di un altro paese non è di per sé indicativa di ricchezza. Forza di valuta di un paese e ricchezza di un paese non sono necessariamente la stessa cosa. Un paese può avere una valuta meno forte ma essere più ricco di un altro paese, viceversa può avere una valuta più forte ma essere meno ricco.

Se una delle persone al tavolo decide di stampare denaro questo non implica che quella persona si sta arricchendo. Per esempio, se l’Europa volesse arricchirsi dovrebbe aumentare la propria riserva monetaria (ovvero l’oro in giacenza) e non stampare più carta.

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Figura 1. L’Europa stampa moneta ma non si arricchisce, perchè la propria riserva aurea è rimasta invriata. D’altra parte aumentare la moneta lasciando invariata la riserva significa diminuire il potere di acquisto della valuta.

Stampare più carta non può aumentare la ricchezza di nessuna delle persone presenti al tavolo. Stampare denaro, in generale, non arricchisce un paese. Tuttavia accumulare oro, in generale, arricchisce un paese.

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Figura 2. L’Europa accumula oro. In questo caso essendo che il deposito aumenta anche la forza dell’euro aumenta. L’Europa diventa più ricca e il suo denaro prende forza.

Per esempio, se l’Europa raddoppiasse il numero di once (si ricorda lo scenario ipotetico iniziale: 100 once e 100 euro) lasciando invariato il quantitativo di denaro significherebbe che si passerebbe da un rapporto oro-euro di 1:1 a un rapporto di oro-euro 2:1. L’euro prende forza perché ora un euro corrisponde a due once.

Supponiamo ora invece che l’America, invidiosa dell’Europa, abbia l’idea di arricchirsi stampando denaro. Si parte da una condizione in cui l’America ha 100 once e 100 dollari, in pratica un dollaro per ogni oncia. Assumiamo ora che l’America stampi denaro in modo tale da avere 200 dollari, lasciando però immutato il numero di once. L’America è più ricca di prima? No, ha solo mutato la propria corrispondenza oro-dollaro, passando da una corrispondenza oro-dollaro di 1:1 a una corrispondenza oro-dollaro di 1:2. In sostanza dopo aver stampato 100 dollari in più l’America ha ottenuto che adesso un’oncia vale due dollari, cioè un dollaro in più. L’America ha ottenuto che l’oro vale apparentemente di più, perchè vale più dollari. In verità questo ragionamento non tiene conto che non è l’oro ad aver acquistato valore ma è il denaro ad aver perso forza. Infatti, per le trattative internazionali, stampare denaro non ha cambiato assolutamente niente. Proviamo a ragionarci…

Scenario A (nessuna stampa di denaro, 100 once e 100 dollari): L’America ha una corrispondenza oro-dollaro 1:1. L’America vuole comprare un prodotto Cinese. La Cina valuta il proprio prodotto un’oncia. L’America accorda un dollaro per pagare il prodotto.
Scenario B (raddoppio del denaro, 100 once e 200 dollari): L’America ha una corrispondenza oro-dollaro 1:2. L’America uole comprare un prodotto Cinese. La Cina valuta il proprio prodotto un’oncia. L’America accorda due dollari per pagare il prodotto.

Le conseguenze dello scenario A e dello scenario B sono assolutamente identiche, infatti nella pratica è successo che:
– L’America ha perso ricchezza (ha perso oro)
– La Cina ha guadagnato ricchezza (ha guadagnato oro)
– Il dollaro ha perso forza rispetto al Renminbi (il dollaro che L’America aveva stampato non ha più corrispondenza e ora ha meno dollari e meno oro)
– Il Renminbi ha acquistato forza rispetto al Dollaro (i Renminbi che la Cina aveva stampato adesso hanno un’oncia in più nella corrispondenza)

Adesso l’America (scenario A o B è indifferente) vuole risolvere la propria perdita di forza di valuta rispetto alla Cina, cosa dovrebbe fare? Sicuramente non stampare moneta. Piuttosto l’America dovrebbe diminuire il numero di dollari stampati che hanno una corrispondenza, in modo da conferire nuovamente la forza persa alla valuta. L’America decide quindi di ritirare dollari fino a quando il rapporto dollaro-renminbi torna ad essere 1:7. Dopo aver ritirato denaro l’America si è arricchita o impoverita? Nessuna delle due. L’America, dopo aver ritirato denaro, rimane più povera della Cina di un’oncia ma almeno ha ripristinato la forza della propria valuta.

In questo discorso, circa la trattativa di scambio prodotto-denaro tra Cina e America, non si è ben capito che fine faccia il denaro che l’America spedisce alla Cina. Quando la Cina riceve dall’America un dollaro che ne fa? Ci sono tre possibilità:

  • Spedisce indietro il dollaro e richiede l’oro (in questo caso l’america decide se aggiornare la corrispondenza o ritirare il denaro)
  • Ritira il dollaro dalla circolazione (su autorizzazione) e chiede l’oncia corrispondente (questo è lo scenario che praticamente abbiamo supposto finora)
  • Tiene il dollaro e non chiede l’oncia

Ma perché la Cina dovrebbe tenere il dollaro? È veramente una possibilità da considerare? Potrebbe sembrare una scelta scellerata ma nella prossima giornata potremmo capire qualcosa di diverso…