Argomentazioni sull’esame clinico Doppler

In un normale esame clinico ecografico viene usata una sonda che funziona sia da trasmettitore che da ricevitore di onde sonore. Quando effettuiamo un’ecografia che colora i pixel di un monitor sfruttando il principio Doppler allora stiamo effettuando un’ “ecografia Doppler”.

La parola ecografia è giustamente composta di “eco” (riflessione del suono) e “grafia” (resa grafica del fenomeno eco), poichè tratta la riproduzione grafica del fenomeno della riflessione del suono. Ciò che viene fatto è quello di rendere apprezzabile alla vista ciò che con le nostre orecchie non saremmo mai in grado di carpire.

Il suono è fondamentalmente una perturbazione dello stato di quiete delle particelle del mezzo nel quale il suono viene trasmesso. Questo tipo di perturbazione è un po’ particolare, poichè avviene in modo oscillatorio, sia nel tempo che nello spazio. Quando il suono attraversa il mezzo in cui si propaga provoca un moto delle particelle simile a quello di una fisarmonica. Le particelle vanno avanti e indietro e, piano piano, rallentano, fino ad arrestarsi.

Nella nostra esperienza comune il mezzo attraverso il quale il suono si propaga è l’aria ma sappiamo bene che esso può propagarsi anche attraverso un mezzo diverso, come  per esempio l’acqua di mare. Diverse specie animali acquatiche giovano della propagazione del suono attraverso l’acqua di mare.

D’altra parte è noto il cosiddetto “effetto eco”, che di tanto in tanto si verifica, dando l’idea che il suono in qualche modo rimbalzi sugli oggetti. Durante un esame clinico Doppler viene sfruttato proprio questo effetto: quello del mandare un suono e ascoltare il suono di ritorno. Cosa significa ascoltare? Nel nostro caso significa riconoscere la frequenza di ritorno.

Ogni suono ha associata una frequenza, che nella pratica di tutti i giorni, associamo a un suono acuto (frequenza alta) oppure grave (frequenza bassa). Proprio come per le frequenza delle onde elettromagnetiche, esiste un intervallo di frequenze specifico che possiamo sentire. Altri intervalli di frequenze, per esempio i cosiddetti ultrasuoni (che ricorda molto la dicitura ultravioletto per le onde elettromagnetiche), sono udibili solo da alcuni animali.

Dire che un suono è acuto (alta frequenza) è come dire che esso provoca un’oscillazione rapida delle molecole dell’aria mentre dire che un suono è grave (bassa frequenza) è un po’ come dire che esso provoca un’oscillazione lenta delle molecole dell’aria. In un normale esame Doppler non siamo in grado di sentire il suono delle onde sonore che vengono mandate attraverso il nostro corpo, perchè queste non sono nell’intervallo delle frequenze udibili.

Quando, in un esame ecografico doppler, la sonda manda il suono si aspetta un eco di ritorno con una frequenza mutata rispetto alla frequenza sonora dell’onda trasmessa. La relazione che lega la frequenza trasmessa e la frequenza ricevuta dipende dalla velocità che il corpo riflettore del suono possedeva. Tipicamente infatti il Doppler è molto conosciuto con la dicitura di “Ecocolor Doppler”, che è un tipo di esame clinico tramite il quale il medico è in grado di valutare le direzioni e le velocità dei moti del sangue nei vasi sanguigni. Per fare ciò viene sfruttata una scala in falso colore (dal blu al rosso) e l’aspetto è tipo quello rappresentato nella figura seguente.

Doppler_ultrasound_of_systolic_velocity_(Vs),_diastolic_velocity_(Vd),_acceleration_time_(AoAT),_systolic_acceleration_(Ao_Accel)_and_resistive_in.jpg
Figura 1. Esempio di frame di un video di un normale esame di Ecocolor Doppler

L’esame Doppler è in grado quindi di riconoscere, tramite la relazione che lega la frequenza trasmessa e la frequenza ricevuta, la velocità che possiede il sangueLa direzione verso la quale il sangue dovrebbe andare è esperienza del medico ed infatti è anche per questo motivo che l’esame Ecocolor Doppler è fortemente dipendente dalle valutazioni dello specialista.

La relazione che lega la frequenza trasmessa e la frequenza ricevuta è la seguente:

\Delta f = \frac{2fVcos\Theta}{c}

In cui:

  • \Delta f è il cosiddetto “Doppler shift”
  • V è la velocità del corpo rilevato (nell’esempio il sangue)
  • cos\Theta la direzione lungo la quale il corpo si muove
  • c la velocità del suono nel mezzo

Da questa relazione si può intuire che se la direzione del moto del corpo (rispetto alla sonda) non ha nè un comportamento avvicinante nè allontanante la sonda non rileva nulla (in verità non rileva mai nulla ma rischia di rilevare quasi nulla).

Altre discussioni su questo tema seguiranno nei prossimi post dedicati al Doppler. Se ti è piaciuto questo post segui le argomentazioni della sezione bioingegneria, qui su Thinking Process. Se pensi che ci siano delle correzioni da effettuare contattami direttamente oppure commenta qui sotto.

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Funzione seno

Una funzione è una relazione che associa a un elemento del dominio uno e uno solo elemento del codominio. Qualsiasi funzione, in analisi matematica, è un insieme di punti che rispetta la proprietà sentenziata nella frase precedente.

La funzione seno è una relazione che viene stabilità tra radianti e il valore di seno per quell’angolo. Cerchiamo di vedere meglio come è questa funzione.

Nella figura seguente viene rappresentata la funzione seno.

sinx.png
Figura 1. Rappresentazione della funzione seno

Come si può notare la funzione sen(x) è compresa tra -1 e 1. Quando si dice che una funzione è compresa tra -1 e 1 si intende che le ordinate di tutti i punti che costruiscono la funzione f(x)=sen(x) non assumono mai valori fuori dall’intervallo -1\leq f(x)\leq1.

La funzione f(x)=sen(x) ha un periodo di T=2\pi, dove con periodo si intende la più piccola porzione di curva che, traslata della propria estensione in x, si sovrappone perfettamente alla prossima porzione di curva. Nella figura seguente viene rappresentato sen(x) per 0\leq x\leq 2 \pi.

period sinx.png
Figura 2. In blu viene evidenziata la funzione seno nel periodo, in questo caso per 0\leq x\leq 2 \pi. Come si può notare la funzione seno è periodica, perchè la parte evidenziata si ripete ogni periodo.

Se volessimo amplificare la curva basterebbe premoltiplicare il seno per una costante, tipo:

A \cdot sin(x)

Si guardi infatti la differenza nella figura seguente tra:

f(x)=sen(x) e g(x)=2 \cdot sen(x)

2sinx.png
Figura 3. Rappresentazione in blu della funzione f(x)=sen(x) e in rosso della funzione g(x)=2 \cdot sen(x). Come si può notare -1\leq f(x)\leq1 mentre -2\leq g(x)\leq2

Per poter traslare la funzione seno verso l’alto basta porre:

sin(x) + B con B >0

Per poter traslare la funzione seno verso il basso basta porre:

sin(x) + B con B <0

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso il basso per B =-4

sinx-4.png
Figura 4. Rappresentazione della funzione seno con traslazione verso il basso. L’azione di aggiungere una quantità B negativa alla funzione seno è quello di spostare tutti i punti del modulo di B verso il basso. La funzione è ora compresa tra -3 e -5

Supponiamo ora di voler aumentare la frequenza di sin(x), allora basta porre:

sin(\omega x)

Nella figura in basso viene mostrato il cambiamento della frequenza della funzione seno per \omega = 2, come si può notare la frequenza della curva aumenta.

frequenzadoppia.png
Figura 5. In rosso la funzione sin(x), in verde la funzione sin(2 \cdot x). Come si può notare un periodo della rossa corrisponde a due periodi della verde. La curva rossa ha una frequenza più bassa della verde perchè, scelto un intervallo x opportuno, la verde presenta sempre più periodi della rossa.

In ultimo per poter traslare la funzione seno verso sinistra basta porre:

sin(x + \phi) con \phi >0

Invece per poter traslare la curva verso destra basta porre:

sin(x + \phi) con \phi <0

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso destra per x=- \frac{\pi}{4}

traslazione.png
Figura 6. La funzione verde è la funzione seno traslata verso destra e ha formula sin(x - \frac{\pi}{4}). Come si può notare scegliere un \phi <0 porta la curva a traslare verso destra.

In conclusione la formula generale del seno risulta essere:

A \cdot sin( \omega x + \phi ) + B

in cui:

  • A amplifica la funzione sin(x)
  • B trasla verso l’alto o verso il basso la funzione sin(x)
  • \omega abbassa o aumenta la frequenza della funzione sin(x)
  • \phi trasla verso destra o verso sinistra la funzione sin(x)