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I vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Sono considerati vasi comunicanti due o più recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Un’illustrazione schematica dei vasi comunicanti è data in Figura 1, in cui è possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi è uguale.

Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.

Figura 1 Esempio di vasi comunicanti. Le due segnalazioni laterali mostrano come il livello di superficie del liquido sia uguale nel vaso di sinistra e in quello di destra

La legge di Stevino vale anche in questa condizione e ci dice che:

\(P=p_{a t m}+d g h\)

In cui:

  • \(P\) è la pressione a una certa altezza dalla superficie;
  • \(d\) è la densità del liquido;
  • \(g\) è l’accelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
  • \( h \) è la profondità dalla superficie dell’acqua.

Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densità diverse e sotto tale condizione tra i vasi può instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione è rappresentato in Figura 2.

Si può assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso l’aggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nell’illustrazione. Il vaso che contiene l’aggiunta di olio ha un livello di superficie più alto rispetto alla controparte.

Figura 2 Esempio di vasi comunicanti con liquido aggiunto differente non miscibile

Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro è uguale:

\(P_{s x}=P_{d x}\)

In Figura 3 viene mostrata la condizione di aggiunta dell’olio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.

Figura 3 La condizione di equilibrio è decisa dalle regioni tratteggiate in arancione

La linea tratteggiata rossa è stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa l’olio dall’acqua. Come è possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantità di volume di liquido sono diverse, perché le densità dei liquidi interessati sono diverse.

L’acqua, che è più densa dell’olio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre l’olio, meno denso dell’acqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .

Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che è una conseguenza del fatto che la densità dell’olio è minore di quella dell’acqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve più volume di olio per bilanciare il peso dell’acqua. Questo è anche il motivo per cui l’altezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) è superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .

Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densità dell’acqua e che \(d_{olio}\)  sia la densità dell’olio, per la legge di Stevino, deve essere:

\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)

\(d_{H 2 O} h_{d i s}=d_{\text {olio }} h_{\text {olio }}\)

\(\frac{d_{H 2 O}}{d_{\text {olio }}}=\frac{h_{\text {olio }}}{h_{\text {dis }}}\)

Questo ci fa capire che, a parità di liquidi scelti, l’altezza di liquido del vaso in cui si trova l’olio sarà sempre più grande rispetto all’altra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantità di olio aggiunta e non dalla quantità di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.

Volendo generalizzare a due liquidi generici con densità \(d_1\) e \(d_2\) si può facilmente concludere che:

\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)

In cui \(h_1\)  e \(h_2\)  sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.

Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dell’acqua a sinistra dei vasi?

\( h_{dis} \frac{d_{H 2 O}}{d_{ \text {olio } }} = \frac{ h_{ \text {olio } }}{ \boldsymbol{h_{dis }}} \boldsymbol{h_{dis}}\)

\(\boldsymbol{d_{olio }} h_{dis} \frac{d_{H2O}}{\boldsymbol{d_{olio }}} = h_{olio } d_{olio } \)

\( \frac{h_{dis} \boldsymbol{d_{H2O}}}{ \boldsymbol{d_{H2O}}} = \frac {h_{olio} d_{olio}}{d_{H2O}} \)

\(h_{d i s}=\frac{d_{\text {olio }}}{d_{H 2 O}} h_{\text {olio }}\)

Sapendo che \(d_{\text {olio }}=0.916 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\) e che \(d_{H 2 O}=1 \frac{k g}{m^{3}}\) si ha:

\(h_{d i s}=0.916 h_{\text {olio }}\)

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Soluzione esercizio pag. 234 n. 25 – Le traiettorie della fisica.azzurro seconda edizione

Testo

La colonnina di mercurio di un termometro da interni a temperatura ambiente è alta \( 12 \mathrm{cm}\), la densità del mercurio è uguale a \(13.6 \cdot 10^{3} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\)

Qual è il valore della pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro?

Thermometer, Summer, Heiss, Heat, Sun, Temperature

Soluzione

Per via della legge di Stevino si procede come segue:

\( P = \rho g h = \)

\( 13.6 \cdot 10^{3} \frac {kg}{m^{3}} \cdot 0.12 m \cdot 9.81 \frac{ m }{ s^2} \approx \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{kg}{ m^{3}} \cdot m \cdot \frac{ m}{ s^{2}}= \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{ kg}{m^{2}} \cdot \frac{ m}{ s^{2}}= \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{ N}{m^{2}} = \)

\( 16 \cdot 10^{3} Pa=16 KPa \)

Perciò la pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro è di:

\( 16 KPa \)

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Il cambio di volume di aria nella siringa

Testo

Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0.80mL di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18°C.

  • Quale sarà il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer?

Soluzione

Per la prima legge di Gay-Lussac, espressa per i gradi centigradi, si ha:

\( V = V_0 (1+\alpha t ) \)

In cui:

  • \( V \) è il volume del gas alla temperatura \( t \);
  • \( V_0 \) è il volume del gas alla temperatura di \( 0 ^{\circ}C \);
  • \( \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica del gas ideale, pari a \( \frac {1}{273.14^{\circ}C} \);
  • \( t \) è la temperatura alla quale si trova il corpo.

Ne nostro caso si vuole calcolare il volume finale \( V_f \) del gas a -18°C . Per scoprire il valore del volume del’aria a 0°C si deve ricavare la formula inversa sfruttando volume iniziale \( V_i \), il quale è pari a quello che avrebbe il gas se si trovasse alla temperatura di 20°C.

Quindi:

\( V_0 = \frac{V_i}{(1+\alpha t_i )} \)

In cui:

  • \( V_i \) è il volume iniziale del gas;
  • \( t_i \) è la temperatura iniziale alla quale si trova il corpo, cioè 20°C.

La stessa legge vale per il volume finale e quindi:

\( V_f = V_0 (1+\alpha t_f ) \)

In cui:

  • \( V_f \) è il volume finale del gas;
  • \( t_f \) è la temperatura finale alla quale si trova il corpo, cioè -18°C.

Combinando le informazioni si può scrivere:

\( V_f = \frac{1+\alpha t_f }{1+\alpha t_i } V_i \rightarrow \)

\( V_f = \frac{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (-18^{\circ}C) }{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (20^{\circ}C)} 0.80mL \approx 0.70mL \)

Quindi il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer è di 0.70mL circa.

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Resistori in serie

Testo

In un circuito sono collegati in serie un generatore di tensione di 18,0V e dieci resistori uguali. Viene misurata l’intensità di corrente, che risulta di 6mA.

  • Calcola la resistenza equivalente del circuito.
  • Calcola il valore della resistenza di ciascun resistore
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Soluzione di un esercizio sulla seconda legge di Ohm

Testo

Due fili conduttori di materiali diversi hanno lo stesso diametro e il primo è lungo il doppio del secondo. Il primo ha una resistenza pari a 16 \Omega, il secondo ha una resistenza di 24 \Omega.

Quale è il rapporto tra le resistività dei due fili?

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