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Come calcolare il perimetro e le mediane e di un triangolo isoscele data la base e l’area

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Testo

Determina il perimetro e le mediane di un triangolo isoscele, di area 48a2, sapendo che la sua base ha una lunghezza 16a.

Soluzione

Figura 1: Triangolo rettangolo con le mediane

Possiamo determinare inizialmente la mediana AA’ che parte dal vertice A. Come si può notare in figura 1, la mediana AA’ corrisponde anche all’altezza del nostro triangolo; e avendo noti rispettivamente base e area, si ottiene che:

Per trovare i lati obliqui del triangolo isoscele, possiamo dividerlo in due triangoli rettangoli equivalenti. I cateti son definiti da BC/2=CA’=BA’ e AA’, e le ipotenuse dai segmenti AC e AB. Perciò applicando il teorema di Pitagora:

Il perimetro sarà dunque calcolato come:

mentre le due mediane BB’ e CC’ sono equivalenti e saranno date da:

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Come risolvere esercizio n.35 pag 177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.35 pag. 177 Matematica.verde 3A
  • n.35 pag. 255 Matematica.blu 2.0 3 – Seconda edizione
  • n.35 pag. 255 Manuale blu 2.0 di matematica 3A – 3A Plus
  • n.35 pag.215 Matematica.rosso 3 – Seconda edizione

Testo

Riconosci se il fascio di equazione \( 3 a x+4 a y+3 a-1=0 \) è proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio:

  1. passante per il punto \( \left(\frac{2}{3},-1\right) \);
  2. passante per l’origine;
  3. che dista 1 dall’origine

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. fascio proprio o improprio;
  2. retta passante per un punto;
  3. retta passante per l’origine;
  4. distanza dalla retta;
  5. coefficiente angolare.

Soluzione

Il coefficiente angolare del fascio è…

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Prima lezione sullo studio di funzione

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Questa è il video della prima lezione sullo studio di funzione proposta da Thinking Process del percorso “Maratona di lezioni sullo studio di funzione”.

Qui di seguito il manifesto dell’iniziativa e sotto il video della prima lezione.

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Soluzione esercizio numero 137 pag.834 tratto dal libro Matematica.azzurro 4 con Tutor

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Testo

Nel seguente esercizio determina gli elementi richiesti utilizzando i dati forniti dalle figure.

Sfruttando le conoscenze sulla trigonometria bisogna cercare di ricavare le aree richieste.

Soluzione

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Come dimostrare, in 5 mosse, la perpendicolarità tra tangente e raggio.

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1. Testo

Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.  

2. Prerequisiti

Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:

  • il concetto e la definizione di derivata
  • l’equazione della circonferenza
  • come ricavare le formule inverse

3. Soluzione

Primo step

Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r : 

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

Secondo step

Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza: 

\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \) 

Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.

Terzo step

Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate: 

\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step

Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P: 

\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)

Quinto e ultimo step

Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.

Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.  

Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza  e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.  

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)

\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)

Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\) 

\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)

Dal confronto tra  

\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)

e  

\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)

si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.  

Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.  

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Come risolvere esercizio n. 34 pag.177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nel seguente libro

  • esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

1 Testo

Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

  1. passante per l’origine;
  2. parallela alla retta;
  3. perpendicolare alla retta

2 Prerequisiti

Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:

  • l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
  • come calcolare il coefficiente angolare della retta
  • come calcolare il valore di quota della retta
  • il concetto di fascio di rette proprio e improprio
  • come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:

\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)

\(0+0+3+k=0 \)

\(3+k=0 \)

\( k=-3 \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).

3.2 Punto 2

Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).

Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:

\( 1-2k=0 \)

da cui

\( -2k=-1 \)

quindi

\( k=\frac{1}{2} \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).

3.3 Punto 3

Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare  alla retta \( s:x+y=5 \).

Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:

\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:

\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)

Dovendo determinare  una retta perpendicolare deve essere che:

\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)

cioè:

\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)

\(-3k=1-2k \)

\(-3k+2k=1 \)

\(-k=1\)

\(k=-1\)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).

Figura 1. Rappresentazione delle rette del fascio , nelle condizioni indicate dall’esercizio.

Di cosa hai bisogno? Faccelo sapere, presto!

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Come risolvere esercizio n.32 pag.177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 32  pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta r_{AB} che passa per  due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.

Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta r_{AB} e un punto C sull’asse delle ascisse.

1         Testo

Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti  \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).

1          Soluzione

La retta passante per AB deve essere parallela alla retta  \( r: y=3x+1
\) con \( m_r=3\).

Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette
devono essere uguali:

\(
m_{AB}=m_r \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) \)

Determiniamo il coefficiente angolare tra i due punti:

\( m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{m-2}{1-m-1}=\frac{m-2}{-m}=-\frac{m-2}{m} \)

Per la (1), deve essere:

\( -\frac{m-2}{m}=3\)

da cui

\( -(m-2)=3m\)

\( -m+2-3m=0\)

\( -4m=-2\)

\( m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

quindi

\( m= \frac{1}{2}\)

Determiniamo le coordinate dei punti A e B, sostituendo il valore di \(
m=\frac{1}{2} \):

\( (m+1;2)\rightarrow\left(\frac{1}{2}+1 ; 2\right)\rightarrow A\left(\frac{3}{2}
; 2\right)\)

e

\( B(1;m)\rightarrow B\left(1;\frac{1}{2}\right)\)

Determiniamo il punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta data \(
y=x+1 \).

Risolvendo il seguente sistema:

\( \left \{ \begin{matrix} y=x+1 \\ y=0 \end{matrix} \right. \)

da cui:

\( x+1=0\rightarrow x=-1 \)

otteniamo le coordinate del punto \( C(-1,0)\).

Utilizzando la formula distanza
tra due punti:

\( d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}\)

calcoliamo i lati del triangolo:

\( AB=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\)

\( BC=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{17}\)

\( AC=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}\)

Ora possiamo calcolare il perimetro del triangolo:

\( P=AB+BC+AC=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\sqrt{41}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{41}\right)\)

 

Figura 1. Rappresentazione completa della situazione proposta dal problema. Vengono rappresentate le tre rette discusse in questo esercizio e il triangolo identificato dai tre punti A, B e C.
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Come risolvere esercizio n°178 pag.573 – LA matematica a colori Algebra 2 EDIZIONE BLU

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Testo

Un urna contiene 5 biglie rosse e 10 bianche. Si estraggono dall’urna, successivamente, due biglie, senza rimettere nell’urna la prima biglia estratta. Determina la probabilità:

  1. Di estrarre due biglie rosse;
  2. di estrarre due biglie dello stesso colore;
  3. di estrarre due biglie di colori diversi.
gray ceramic jar with lid and brown thread

Prerequisiti

Per risolvere questo problema bisogna sapere:

  • cosa è un evento;
  • cosa sono gli eventi indipendenti;
  • cosa è la probabilità e come determinarla;
  • cosa sono gli eventi complementari.
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Soluzione esercizio N°134 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

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Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni:

\alpha : x-y+4=0; \beta : 4x - 4y + z + 4=0 Continua a leggere Soluzione esercizio N°134 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

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Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

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Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).

Continua a leggere Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)