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Vertice di una parabola. Come trovare una parabola con vertice V(2,3)

Testo

Illustra il concetto di vertice di una parabola. Fai un esempio di parabola con Vertice in V(2,3).

Soluzione

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Come trovare l’equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate \( V(1 ; 0) \) e passante per il punto \( P(2; 1) \).

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

\( y=a x^{2}+b x+c\)

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

\( V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)\)

Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \( V(1 ; 0)\) e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} =1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \end{matrix}\right.\)

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \( P(2; 1)\) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto \( P\). Quindi:

\( 1=a(2)^{2}+b(2)+c\)

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right. \)

E l’equazione della parabola sarebbe:

\( y=x^2-2x+1\)

Rappresentata nella figura seguente:

Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola \( y=x^2-2x+1 \)
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Soluzione esercizio n°217 pagina 198 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

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La parabola di equazione

y= -x^2 + 8x -7

interseca l’asse x nei punti A e B. Determina due punti C e D sulla parabola che formino con A e B un trapezio isoscele di base maggiore AB e area 32.

Soluzione

La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:

x_{1,2} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-7)}}{2\cdot(-1)}

Da cui:

x_{1} = 1 e x_{2} = 7

intersezione parabola
Figura 1. Rappresentazione della parabola e dei punti A e B

La base maggiore AB misura quindi 6.

La formula dell’area di un trapezio isoscele è:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)h}{2}

Di cui sono noti solo:

A_{Trapezio} = 32 e B = 6

Per trovare una relazione che leghi b e hè necessario considerare il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

intersezione con h.png
Figura2. Rappresentazione geometrica del sistema precedente

E risolvere:

x^2 - 8x + (7+h) = 0

Quindi:

x_{1,2} = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(7+h)}}{2\cdot(1)}=

=\frac{8\pm \sqrt{36-4h}}{2}

Da cui:

x_{1} = 4-\sqrt{9-h} e x_{2} = 4+\sqrt{9-h}

E allora b sarà esprimibile come:

b=x_{2,b}-x_{1,b}= 2 \sqrt{9-h}

Volendo esplicitare h:

b^2 = 4(9-h) \rightarrow b^2 = 36-4h \rightarrow h= \frac{36-b^2}{4}

Quindi:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot \frac{36-b^2}{4}

E allora:

32 = \frac{(6+b)(36-b^2)}{8} \rightarrow

256 = (6+b)(36-b^2) \rightarrow

256 = 216-6b^2+36b-b^3 \rightarrow

b^3+6b^2-36b+40=0

Da Ruffini:

(b-2)(b^2+8b-20)=0

Da cui:

b_{1}=2

E:

b_{2,3}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \rightarrow

b_{2}=2 e b_{3}=-10

L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.

Poiché:

h= \frac{36-b^2}{4}

allora:

h= 8

Se ciò è vero significa che il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

Deve essere riscritto come segue:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=8\end{matrix}\right.

In quanto h= 8 e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta y= 8 .

Volendo trovare quindi i punti C e D richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:

-x^2 + 8x -15=0

E quindi:

x_{C,D} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-15)}}{2\cdot(-1)} \rightarrow

x_{C} = 3 ; x_{D} = 5

Da cui, in definitiva:

A(1;0),B(7;0),C(3;8),D(5;8)

area parbola
Figura 3. Rappresentazione grafica della soluzione

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