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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

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Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…

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Soluzione esercizio n°12 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Un cavetto di alluminio (densità \( \rho=2690 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ), lungo \( 3.2m \), a sezione quadrata di lato \( 2.0mm \), percorso da una corrente di \( 33A \), è appoggiato su un tavolo da lavoro che presenta un coefficiente d’attrito \( \mu = 0.15 \). Un’asta di ferro molto lunga si trova fissata al tavolo parallelamente al filo a una distanza di \( 2.0 cm \).

Calcola il verso (rispetto alla prima) e l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto.

Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema si deve conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si osservi che il volume del cavetto è pari a quello di un prisma a base quadrata:

\( V=h l^{2}=3.2 \cdot\left(2 \cdot 10^{-3}\right)^{2} m^{3}=12.8 \cdot 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \)

Per poter trovare la massa del filo si procede come segue:

\( m=\rho V=2690 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 12.8 \cdot 10^{-6} \mathrm{m}^{3} \approx 0.034 \mathrm{kg} \)

La forza peso associata al filo di alluminio è quindi pari a:

\( F_{p}=m g=0.034 \mathrm{kg} \cdot 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \approx 0.333 \mathrm{N} \)

Quindi la forza d’attrito è pari a:

\( F_{a}=\mu F_{\perp}=0.15 \cdot 0.333 N \approx 0.05 N \)

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\( \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{\boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \frac{\mu}{2 \pi} \) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l \)è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Quindi deve essere:

\( \vec{F} \geq \vec{F}_{a} \)

Al minimo deve quindi essere:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l+0.05 N=0 \)

Affinché sia vero, le due correnti che percorrono i due fili devono essere di verso opposto, così:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l=0.05 N \)

La corrente desiderata è:

\( i_{2}=0.05 \frac{d 2 \pi}{l \mu i_{1}}=\frac{0.05 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \pi}{3.2 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 33}=\frac{0.05 \cdot 10^{-2} \cdot 33}{3.2 \cdot 10^{-7}} \approx 4.735 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{5} A \approx 47.35 A \)

In definitiva l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto è di circa \( 47.35 A \)

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Come dimostrare, in 5 mosse, la perpendicolarità tra tangente e raggio.

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1. Testo

Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.  

2. Prerequisiti

Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:

  • il concetto e la definizione di derivata
  • l’equazione della circonferenza
  • come ricavare le formule inverse

3. Soluzione

Primo step

Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r : 

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

Secondo step

Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza: 

\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \) 

Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.

Terzo step

Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate: 

\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step

Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P: 

\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)

Quinto e ultimo step

Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.

Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.  

Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza  e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.  

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)

\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)

Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\) 

\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)

Dal confronto tra  

\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)

e  

\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)

si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.  

Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.  

smiling woman wearing black sweater

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Come risolvere esercizio n°178 pag.573 – LA matematica a colori Algebra 2 EDIZIONE BLU

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Testo

Un urna contiene 5 biglie rosse e 10 bianche. Si estraggono dall’urna, successivamente, due biglie, senza rimettere nell’urna la prima biglia estratta. Determina la probabilità:

  1. Di estrarre due biglie rosse;
  2. di estrarre due biglie dello stesso colore;
  3. di estrarre due biglie di colori diversi.
gray ceramic jar with lid and brown thread

Prerequisiti

Per risolvere questo problema bisogna sapere:

  • cosa è un evento;
  • cosa sono gli eventi indipendenti;
  • cosa è la probabilità e come determinarla;
  • cosa sono gli eventi complementari.
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Come risolvere esercizio n°1 pag. 388 (Le traiettorie della fisica Azzurro, seconda edizione)

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Testo

Un bottiglione di vetro da 2,0L  è pieno fino all’orlo di olio d’oliva alla temperatura di 10°C. Successivamente la temperatura aumenta fino a 30°C.

  • Quanto olio in \( cm^3  \)trabocca dalla bottiglia?
  • Calcola in percentuale la variazione della densità di olio d’oliva per la stessa variazione di temperatura.
oil dispenser bottle
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Soluzione esercizio n.11 pag. 233 (Le traiettorie della fisica.azzurro, seconda edizione)

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Testo

Un operaio di una ditta di traslochi vorrebbe appoggiare un pianoforte di massa 275 kg su un solaio che può sopportare al massimo una pressione di \( 6\cdot10^{3}Pa \).

Quale superficie di appoggio minima deve avere il pianoforte per non provocare danni al solaio?

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Soluzione pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

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Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza.

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Come risolvere gli esercizi sull’abbondanza isotopica

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Gli isotopi

Un atomo appartiene a un determinato elemento chimico se e solo se ha il numero di protoni previsto per quel determinato elemento chimico. Se un atomo possiede sei protoni è sicuramente un atomo di carbonio, non c’è altra possibilità. Se un atomo possiede 1 protone è sicuramente un atomo di idrogeno e non c’è nessun altra possibilità.

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Soluzione esercizio n°217 pagina 198 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

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Testo

La parabola di equazione

y= -x^2 + 8x -7

interseca l’asse x nei punti A e B. Determina due punti C e D sulla parabola che formino con A e B un trapezio isoscele di base maggiore AB e area 32.

Soluzione

La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:

x_{1,2} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-7)}}{2\cdot(-1)}

Da cui:

x_{1} = 1 e x_{2} = 7

intersezione parabola
Figura 1. Rappresentazione della parabola e dei punti A e B

La base maggiore AB misura quindi 6.

La formula dell’area di un trapezio isoscele è:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)h}{2}

Di cui sono noti solo:

A_{Trapezio} = 32 e B = 6

Per trovare una relazione che leghi b e hè necessario considerare il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

intersezione con h.png
Figura2. Rappresentazione geometrica del sistema precedente

E risolvere:

x^2 - 8x + (7+h) = 0

Quindi:

x_{1,2} = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(7+h)}}{2\cdot(1)}=

=\frac{8\pm \sqrt{36-4h}}{2}

Da cui:

x_{1} = 4-\sqrt{9-h} e x_{2} = 4+\sqrt{9-h}

E allora b sarà esprimibile come:

b=x_{2,b}-x_{1,b}= 2 \sqrt{9-h}

Volendo esplicitare h:

b^2 = 4(9-h) \rightarrow b^2 = 36-4h \rightarrow h= \frac{36-b^2}{4}

Quindi:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot \frac{36-b^2}{4}

E allora:

32 = \frac{(6+b)(36-b^2)}{8} \rightarrow

256 = (6+b)(36-b^2) \rightarrow

256 = 216-6b^2+36b-b^3 \rightarrow

b^3+6b^2-36b+40=0

Da Ruffini:

(b-2)(b^2+8b-20)=0

Da cui:

b_{1}=2

E:

b_{2,3}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \rightarrow

b_{2}=2 e b_{3}=-10

L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.

Poiché:

h= \frac{36-b^2}{4}

allora:

h= 8

Se ciò è vero significa che il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

Deve essere riscritto come segue:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=8\end{matrix}\right.

In quanto h= 8 e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta y= 8 .

Volendo trovare quindi i punti C e D richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:

-x^2 + 8x -15=0

E quindi:

x_{C,D} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-15)}}{2\cdot(-1)} \rightarrow

x_{C} = 3 ; x_{D} = 5

Da cui, in definitiva:

A(1;0),B(7;0),C(3;8),D(5;8)

area parbola
Figura 3. Rappresentazione grafica della soluzione

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