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Soluzione esercizio numero 137 pag.834 tratto dal libro Matematica.azzurro 4 con Tutor

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Testo

Nel seguente esercizio determina gli elementi richiesti utilizzando i dati forniti dalle figure.

Sfruttando le conoscenze sulla trigonometria bisogna cercare di ricavare le aree richieste.

Soluzione

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Come eliminare un elemento in testa a una lista lineare in C

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1 Cosa è una lista


Una lista è una collezione di elementi omogenei, cioè di elementi tra loro tutti uguali. A differenza dell’array, occupa in memoria una posizione qualsiasi, che tra l’altro può cambiare dinamicamente durante l’utilizzo della lista stessa.

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Soluzione esercizio n°12 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Un cavetto di alluminio (densità \( \rho=2690 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ), lungo \( 3.2m \), a sezione quadrata di lato \( 2.0mm \), percorso da una corrente di \( 33A \), è appoggiato su un tavolo da lavoro che presenta un coefficiente d’attrito \( \mu = 0.15 \). Un’asta di ferro molto lunga si trova fissata al tavolo parallelamente al filo a una distanza di \( 2.0 cm \).

Calcola il verso (rispetto alla prima) e l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto.

Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema si deve conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si osservi che il volume del cavetto è pari a quello di un prisma a base quadrata:

\( V=h l^{2}=3.2 \cdot\left(2 \cdot 10^{-3}\right)^{2} m^{3}=12.8 \cdot 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \)

Per poter trovare la massa del filo si procede come segue:

\( m=\rho V=2690 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 12.8 \cdot 10^{-6} \mathrm{m}^{3} \approx 0.034 \mathrm{kg} \)

La forza peso associata al filo di alluminio è quindi pari a:

\( F_{p}=m g=0.034 \mathrm{kg} \cdot 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \approx 0.333 \mathrm{N} \)

Quindi la forza d’attrito è pari a:

\( F_{a}=\mu F_{\perp}=0.15 \cdot 0.333 N \approx 0.05 N \)

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\( \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{\boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \frac{\mu}{2 \pi} \) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l \)è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Quindi deve essere:

\( \vec{F} \geq \vec{F}_{a} \)

Al minimo deve quindi essere:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l+0.05 N=0 \)

Affinché sia vero, le due correnti che percorrono i due fili devono essere di verso opposto, così:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l=0.05 N \)

La corrente desiderata è:

\( i_{2}=0.05 \frac{d 2 \pi}{l \mu i_{1}}=\frac{0.05 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \pi}{3.2 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 33}=\frac{0.05 \cdot 10^{-2} \cdot 33}{3.2 \cdot 10^{-7}} \approx 4.735 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{5} A \approx 47.35 A \)

In definitiva l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto è di circa \( 47.35 A \)

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Come risolvere l’esercizio n.28 pag. G55 Matematica multimediale.blu 1

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.25 pag. G48 Matematica multimediale.verde 1
  • n.25 pag. G44 Matematica multimediale.bianco 1
  • n.28  pag.G49 Matematica multimediale.azzurro 1

1 Testo

Traccia due segmenti AB e CD che si intersecano nel punto M, che è il punto medio di entrambi. Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

2 Prerequisiti

Per rispondere al quesito bisogna sapere:

  • il concetto di congruenza;
  • il primo criterio di congruenza;
  • il concetto di punto medio;
  • la distinzione tra ipotesi, dimostrazione e tesi.

3 Soluzione

3.1 Ipotesi e tesi

Ipotesi
\( AM\cong MB \)
\(CM\cong MD\)
Tesi
\(AMC\cong BMD \)

Di seguito viene mostrato graficamente il caso di cui è necessario fornire dimostrazione.

Figura 1. Illustrazione grafica del problema

3.2 Dimostrazione

Consideriamo i triangoli \(AMC\) e \(MBD\).

Essi hanno:

  • \(AM\cong MB\) per ipotesi
  • \(CM\cong MD\) per ipotesi
  • \(A\hat{M}C\cong B\hat{M}D\) perchè angoli opposti al vertice M

Dunque i due triangoli, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti, per il primo criterio di congruenza.

Quindi:

\(AMC\cong BMD \).

Come volevasi dimostrare.

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Il cambio di volume di aria nella siringa

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Testo

Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0.80mL di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18°C.

  • Quale sarà il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer?

Soluzione

Per la prima legge di Gay-Lussac, espressa per i gradi centigradi, si ha:

\( V = V_0 (1+\alpha t ) \)

In cui:

  • \( V \) è il volume del gas alla temperatura \( t \);
  • \( V_0 \) è il volume del gas alla temperatura di \( 0 ^{\circ}C \);
  • \( \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica del gas ideale, pari a \( \frac {1}{273.14^{\circ}C} \);
  • \( t \) è la temperatura alla quale si trova il corpo.

Ne nostro caso si vuole calcolare il volume finale \( V_f \) del gas a -18°C . Per scoprire il valore del volume del’aria a 0°C si deve ricavare la formula inversa sfruttando volume iniziale \( V_i \), il quale è pari a quello che avrebbe il gas se si trovasse alla temperatura di 20°C.

Quindi:

\( V_0 = \frac{V_i}{(1+\alpha t_i )} \)

In cui:

  • \( V_i \) è il volume iniziale del gas;
  • \( t_i \) è la temperatura iniziale alla quale si trova il corpo, cioè 20°C.

La stessa legge vale per il volume finale e quindi:

\( V_f = V_0 (1+\alpha t_f ) \)

In cui:

  • \( V_f \) è il volume finale del gas;
  • \( t_f \) è la temperatura finale alla quale si trova il corpo, cioè -18°C.

Combinando le informazioni si può scrivere:

\( V_f = \frac{1+\alpha t_f }{1+\alpha t_i } V_i \rightarrow \)

\( V_f = \frac{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (-18^{\circ}C) }{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (20^{\circ}C)} 0.80mL \approx 0.70mL \)

Quindi il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer è di 0.70mL circa.

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Soluzione di un esercizio sulla seconda legge di Ohm

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Testo

Due fili conduttori di materiali diversi hanno lo stesso diametro e il primo è lungo il doppio del secondo. Il primo ha una resistenza pari a 16 \Omega, il secondo ha una resistenza di 24 \Omega.

Quale è il rapporto tra le resistività dei due fili?

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Soluzione esercizio N°134 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

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Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni:

\alpha : x-y+4=0; \beta : 4x - 4y + z + 4=0 Continua a leggere Soluzione esercizio N°134 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

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Come risolvere esercizio N°132 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

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Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni:

\( \alpha : x-y+2z=0; \beta : 2x – 2y + 8z + 1=0 \)

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Soluzione pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

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Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza.

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Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Reading Time: < 1 minuteSi voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}