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Spiegazione e dimostrazione del teorema di Fermat

In questo scritto è possibile trovare:

  1. l’enunciato del teorema di Fermat;
  2. richiami teorici sui requisiti per la corretta interpretazione del teorema e della sua dimostrazione;
  3. la dimostrazione del teorema di Fermat.

1 Enunciato del teorema

Data una funzione reale ad una variabile reale, che risulta continua e derivabile in un certo intervallo aperto I del valore \( x_0\), se in corrispondenza di \( x_0\) vi è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \( x_0\) vale zero. \( x_0\) viene anche detto punto di stazionarietà per la funzione \(f(x)\).
Più formalmente, se esiste una funzione \(f:(a,b)→\mathbb{R}\) che ha punto di massimo o minimo locale in \(x_0∈(a,b)\) e la funzione è differenziabile in \(x_0\) allora \( f’ (x_0 )=0 \).
L’affermazione dell’enunciato viene resa palese tramite la rappresentazione grafica in Figura 1, in cui i valori \( M \) (di massimo locale) ed m (di minimo locale) rappresentano valori scelti di \(x_0\). Risulta chiaro che in corrispondenza di tali valori il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione è pari a zero, infatti la retta tangente risulta parallela all’asse \(x\).

Figura 1 Illustrazione di punti di massimo e di minimo e della relativa direzione della retta tangente

Qualora il concetto del teorema di Fermat risulti poco chiaro è suggerito proseguire la lettura, in cui verranno chiarificati, tramite dei richiami teorici, i requisiti per la corretta interpretazione del teorema.
Alla fine dei richiami verrà mostrata la dimostrazione dell’enunciato, perciò se è tutto chiaro si consiglia di procedere direttamente alla dimostrazione del teorema di Fermat.


2 Prerequisiti


Prima di passare alla dimostrazione del teorema è consigliato dare un ripasso rapido ai seguenti concetti:

  • Rapporto incrementale;
  • Derivata prima in un punto;
  • Massimi e minimi relativi;
  • Massimi e minimi stazionari e non stazionari.

Vengono riportati di seguito dei richiami ai temi necessari per la corretta interpretazione del teorema di Fermat e della sua interpretazione. Qualora tutti questi concetti siano chiari, si passi tranquillamente alla dimostrazione del teorema.

2.1 Rapporto incrementale

Data una funzione continua in un determinato intorno \(I\) del valore \(x_0\) si definisce rapporto incrementale in un punto \(x_0\), appartenente all’intorno, il rapporto tra la variazione della funzione a seguito di un certo incremento h sull’asse delle x e l’incremento stesso.
In modo più formale, si supponga che \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) sia una funzione continua in un certo intervallo I e si supponga che \(x_0\) sia un punto appartenente ad \(I\). Sia h un certo incremento, in x, rispetto al punto \(x_0\), tale che sia identificabile un nuovo valore \(x_0 + h\).
Il rapporto incrementale è dato da:


\( \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)

Una rappresentazione geometrica dei termini presenti nel rapporto incrementale è osservabile dalla Figura 2.

Figura 2. Rappresentazione delle differenze incrementali in y e in x

Come ulteriormente precisato in Figura 3, è possibile evincere come il rapporto incrementale sia geometricamente corrispondente alla pendenza della retta secante la funzione e passante per il punto \( A ( x_0,f(x_0 )) \) e il punto \( B (x_0+h,f(x_0+h)) \).

Figure 3 Rappresentazione della retta passante per i punti A e B


2.2 Derivata prima in un punto


La derivata prima di una funzione in un punto \( x_0 \) è definita come il limite, per \( h \) che tende a zero, del rapporto incrementale:


\( \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h} \)


Il quale geometricamente esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto \(x_0\), come illustrato in Figura 4.

Figura 4 Rappresentazione del coefficiente angolare di una retta tangente in un punto. Il punto B si sovrappone dinamicamente ad A.

Il termine:

\( f’ (x)= \lim\limits_{h \mapsto 0}⁡ \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h}\)

Rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) e si dice derivata prima della funzione \( f(x) \).


2.3 Massimo/minimo relativo


2.3.1 Massimo relativo


Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di massimo relativo se esiste almeno un intorno di \(x_0\) tale che, per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\), il valore della funzione in \(x_0\) è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
In Figura 4 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno è definito dalla quantità \(\delta\). La quantità \(\delta\) può essere scelta piccola a piacere ma rimane comunque vero che \(x_0\) è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.

Figura 4 Rappresentazione di un valore di massimo locale per una funzione \(f(x)\)


Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\).
Deve essere vero che:


\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \geq f(x)\)


E si legge: per qualunque x appartenente all’intorno \(I\) di \(x_0\) si ha che \(f(x_0 )\) è maggiore o uguale a \(f(x)\).


2.3.2 Minimo relativo


Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di minimo relativo se esiste almeno un torno di \(x_0\) tale che per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\) il valore della funzione in \(x_0\) è minore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.

In Figura 5 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno è definito dalla quantità \(\delta\).

Figura 5 Rappresentazione di un valore di minimo locale per una funzione \(f(x)\)


Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\). Deve essere vero che:


\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \leq f(x)\)


2.3.3 Un punto di massimo/ minimo può essere stazionario o non stazionario

Un punto di massimo o di minimo può essere stazionario o non stazionario. In particolare, un punto è detto stazionario quando la derivata prima in quel punto vale zero. In questo caso la pendenza della retta tangente è nulla, e quindi la retta tangente è orizzontale.
Gli esempi riportati in Figura 4 e in Figura 5 mostrano dei punti stazionari rispettivamente di massimo e di minimo locale. Non necessariamente un punto di stazionarietà è però di massimo o di minimo locale, casistica in cui si parla di punto di flesso, come quella rappresentata in Figura 6.

Figura 6 Rappresentazione di un punto di flesso. La derivata è zero ma il punto non è né di massimo né di minimo

Nel caso in cui non si è in presenza di punti di stazionarietà, questi possono comunque essere punti di massimo o di minimo locale. Infatti se è vero che la derivata nulla può essere indice di punto di massimo o di minimo locale non è vero che il contrario e cioè potrebbe essere possibile trovare dei punti di massimo o di minimo locale con valori di derivata diversi da zero.
Più precisamente può capitare per esempio che ci sia un punto in cui la derivata destra e sinistra siano tra loro diverse.
Le condizioni che potrebbero presentarsi sono le seguenti:

  • Un punto angoloso,
  • Una cuspide,
  • Un estremo in cui la pendenza della retta è non nulla.

Questi casi possono dare luogo a dei minimi o dei massimi locali che sono
Massimo non stazionario
In Figura 7 vengono mostrati dei casi di massimo locale che non hanno derivata nulla, cioè non sono punti stazionari. Si può osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.

Figura 7 Esempi di massimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione

In Figura 8 vengono mostrati dei casi di minimo locale che non hanno derivata nulla, cioè non sono punti stazionari. Si può osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.

Figura 8 Esempi di minimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione

2.4 Teorema di Fermat


Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo \(I\), se \(x_0\) è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \(x_0\) vale zero. Ovvero \(x_0\) è un punto stazionario.

Ipotesi


Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) continua e derivabile in \(I \subset D\) e \(x_0 \in I\) sia un punto di massimo.

Tesi

\(f'(x_0)=0\)


Cioè \( x_0 \) è stazionario.


Osservazione


L’ipotesi di derivabilità consente di non ricadere nel caso del punto angoloso o di cuspide, perché in tali punti, essendo le derivate sinistra e destra differenti, si parla di funzioni non derivabili in quei punti. Inoltre, l’ipotesi di derivabilità vieta la possibilità di stare agli estremi di definizione. In quanto in tali punti la funzione non ha derivata sinistra e destra ma o solo sinistra o solo destra.


Dimostrazione


Si consideri un certo intorno di \(x_0\), \((x_0-\delta ; x_0 + \delta ) \). È possibile suddividere tale intorno in due zone:
Intorno sinistro di \( x_0, (x_0- \delta ; x_0 ] \), indicato con \( I^{-} (x_0) \);
Intorno destro di \(x_0 \), \([x_0;x_0+\delta)\),indicato con \(I^{+} (x_0 )\).
In Figura 9 viene illustrata la situazione di riferimento.

Figura 9 Illustrazione dell’intorno e dei due intorni, destro e sinistro, scelti in modo tale da essere simmetrici rispetto al punto di massimo locale


Quindi è possibile definire come segue l’intorno di \(x_0\):


\(I(x_0 )=(x_0-\delta ,x_0+\delta) \)

E come segue l’intorno sinistro di \(x_0\):


\(I^{-}(x_0 )=(x_0 – \delta , x_0 )\)

E infine l’intorno destro di \(x_0\):


\( I^{+} (x_0 )=(x_0,x_0+\delta )\)


Intorno sinistro di \(x_0\)


Si consideri ora l’intorno sinistro e il rapporto incrementale sinistro nel punto \(x_0\), l’obiettivo è quello di ragionare sulla derivata sinistra nel punto \(x_0\).
Si può scrivere il rapporto incrementale sinistro nel seguente modo:


\(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\)


In questo caso è necessario considerare un valore di \(h\) negativo, perché la quantità \(x_0+h\) deve trovarsi a sinistra del valore \(x_0\), come mostrato in Figura 10.

Figura 10 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale sinistro e della retta con tale coefficiente angolare


Considerando \(h<0\) per la quantità \(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che


\( f(x_0+h)-f(x_0 ) \leq 0 \)

Infatti


\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)


E di conseguenza:


\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \geq 0\)


Si nota subito che tale rapporto incrementale presenta:

  • Un numeratore negativo;
  • Un denominatore negativo.

Il numeratore è negativo poiché \(x_0\) è punto di massimo, quindi il valore di \(f(x_0 )\) è maggiore o uguale a quello di ogni altra \(f(x)\) all’interno dell’intorno \(I^{-} (x_0 )\) e quindi anche di \(f(x_0+h)\). Il denominatore è negativo poiché abbiamo assunto un incremento h negativo. Dunque, il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente maggiore o uguale a zero. Dopotutto è possibile notare come la retta secante sia crescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che è maggiore o uguale a zero.


\(f’_{-} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0} RI^{-} (x_0 ) \geq 0\)


Dunque, si sta ammettendo che la derivata sinistra è maggiore o uguale a zero.


Intorno destro di \(x_0\)


Si consideri ora l’intorno destro \( I^{+} (x_0 ) \) e il rapporto incrementale destro nel punto \( x_0 \), l’obiettivo è quello di ragionare sulla derivata destra nel punto \( x_0 \).
Si può scrivere il rapporto incrementale destro nel seguente modo:


\( RI^{+} (x_0 ) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)


In questo caso è invece necessario ammettere che il valore di \( h \) è positivo, come viene delucidato dalla Figura 11.

Figura 11 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale destro e della retta con tale coefficiente angolare


Considerando \( h>0 \) per la quantità \( RI^{+} (x_0 )= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che


\( f(x_0+h)- f(x_0 ) \leq 0 \)

Infatti:


\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)


E di conseguenza:


\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \leq 0 \)


Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:

  • Un numeratore negativo
  • Un denominatore positivo


Il numeratore è ancora negativo, poiché \(x_0\) è punto di massimo. Quindi il valore di \( f(x_0 ) \) è maggiore o uguale a quello di ogni altra \( f(x) \) all’interno dell’intorno \( I^{+} (x_0 ) \) e quindi anche di \( f(x_0+h)\). Il denominatore è positivo poiché è stato assunto un incremento \(h\) positivo, dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente minore o uguale a zero. Dopotutto è possibile notare come la retta sia secante è decrescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, è necessario ammettere che è minore o uguale a zero.


\(f’_{+} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0} RI^{+} (x_0 ) \leq 0 \)


Dunque, si sta ammettendo che la derivata destra è minore o uguale a zero.
Volendo ricapitolare:

  • La derivata sinistra di \(x_0\) è maggiore o uguale a zero.
  • La derivata destra di \(x_0\) è minore o uguale a zero.


Un’illustrazione della situazione di questa prima conclusione viene fornita in Figura 12.

Figura 12 illustrazione della retta secante sinistra e retta secante destra al punto \(x_0\) precedentemente considerate


Siccome la funzione è derivabile in \(x_0\) per ipotesi, allora la derivata sinistra deve per forza coincidere con la derivata destra. Questo è possibile solamente quando la derivata è uguale a zero, che è la tesi.

Figura 13 Rappresentazione grafica intuitiva di conclusione secondo tesi del teorema di Fermat

Tenendo in considerazione che \( f’_{-} (x_0 ) \geq 0 \) e che \(f’_{+} (x_0 ) \leq 0\) deve dunque essere per forza che:


f’_{-} (x_0 )=f’_{+} (x_0 )=0


È stato dunque dimostrato che se una funzione è continua e derivabile in un certo intervallo, i punti di massimo (o di minimo) presenti internamente sono stazionari.

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Come dimostrare, in 5 mosse, la perpendicolarità tra tangente e raggio.

1. Testo

Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.  

2. Prerequisiti

Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:

  • il concetto e la definizione di derivata
  • l’equazione della circonferenza
  • come ricavare le formule inverse

3. Soluzione

Primo step

Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r : 

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

Secondo step

Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza: 

\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \) 

Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.

Terzo step

Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate: 

\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step

Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P: 

\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)

Quinto e ultimo step

Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.

Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.  

Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza  e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.  

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)

\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)

Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\) 

\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)

Dal confronto tra  

\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)

e  

\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)

si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.  

Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.  

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Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).

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Significato geometrico della derivata

1. Richiami

Per poter capire il significato geometrico della derivata bisogna per prima cosa passare dal concetto di coefficiente angolare. Risulta veramente complicato capire il concetto di derivata senza avere ben chiaro cosa sia il coefficiente angolare di una retta.

Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano è un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).

Il valore del coefficiente angolare è:

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \)

In cui:

  • m è il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
  • la quantità \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\), dati due punti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) , è uguale a:

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare è un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:

Pendenza retta (2).png
Figura 1. Rappresentazione di una retta e delle quantità \( x_2-x_1 \) e \( y_2-y_1 \)

Dalla Figura 1 si può capire come il coefficiente angolare è un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di \( x_2-x_1\) e \( y_2-y_1 \). Il coefficiente angolare quindi non è un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare è indicativo di quanto la retta è pendente rispetto all’asse delle ascisse.

2 Definizione di derivata

2.1 Argomentazione iniziale

Si dice che la derivata di una funzione \( f(x) \) calcolata in un generico punto \( x_0 \) è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \).

La derivata è un limite e anche essa è definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’è la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.

2.2 Definizione formale

Sia data una funzione \( f(x) \) definita in un intorno di \( x_0 \). Si dice che \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \) se esiste ed è finito il limite:

\( {f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

In cui \( h=x-x_0 \).

2.3 Discussione

Dire che il limite che definisce la derivata è finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione \( f(x) \) per un valore di \( x \) pari a \( x_0 \).

Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata può essere espresso bene graficamente come in Figura 2.

derivata.png
Figura 2. Rappresentazione grafica del limite associato alla deriavata. I punti rossi rapresentano l’avvicinamento al punto \( P_0(x_0, y_0) \) in cui si vuole calcolare la derivata

I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioè l’avvicinarsi al valore desiderato \( x_0 \), infatti per \( {h \to 0} \) si ha che la quantità \( x_0+h \) tende a \( x_0 \). Come si può notare più il punto rosso si avvicina al punto blu più la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioè quando il punto rosso è infinitamente vicino al punto blu.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) non esiste allora non può esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) si presenta come una cuspide allora la funzione non è derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra è diverso, Figura 3).

Cuspide.png
Figura 3. In \( x_0=0 \) la funzione si presenta come una cuspide, in quel punto la funzione non è derivabile

Si può dunque dire che:

  • Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua
  • Se una funzione è continua in un punto non necessariamente è derivabile
  • Una funzione discontinua in un punto non è derivabile in quel punto
  • Se una funzione non è derivabile in un punto allora può essere:
    • discontinua in quel punto
    • continua ma a cuspide