Il gioco delle tessere

Testo

La piccola Aurelia sta giocando con 985 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Ha costruito con esse, affiancandole, il triangolo equilatero più grande possibile; quante tessere sono avanzate ad Aurelia?

Soluzione

Partendo con la prima tessera si può considerare questo come la prima riga di tessere, ovvero il vertice del triangolo equilatero grande.

Volendo sviluppare la seconda riga ci vogliono altri tre triangoli e continuando verso la terza riga ci vogliono 5 triangoli, come mostrato in figura.

Figura 1. Illustrazione del posizionamento successivo delle tessere per righe.

Come si può notare la sequenza è quella dei numeri dispati, infatti:

  • prima riga 1 tessera
  • seconda riga 3 tessere
  • terza riga 5 tessere
  • quarta riga 7 tessere
  • etc.

La sequenza continua fino a quando le tessere non finiscono.

A questo punto non resta che sommare tutti i numeri dispari fino ad arrivare a 61 tessere. La somma non è difficile, non richiede l’utilizzo di tecniche più sofisticate, specialmente se si considerano i numeri dispari a gruppi di 5. Per esempio i primi 5 numeri dispari sommati fanno 25, i secondi 75, i terzi 125, sempre un’aggiunta di 50 ogni gruppo di 5…

Facendo la somma di tutti i numeri dispari fino a 61 si ottiene esattamente 961. Perciò le tessere che avanzano sono 24.

Altri 2 problemi sui triangoli qualunque

1         Esercizio 1

1.1         Testo

Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.

Figura 1 Triangolo del problema

1.2         Soluzione

Per calcolare l’angolo \gamma si procede come segue:

\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta=77^{\circ}

Ora vogliamo trovare \overline{A C} e \overline{A B}. Per poterlo fare si procede come segue.

Prima di tutto si considera che:

\overline{AC} \cdot \cos (\gamma)+\overline{AB} \cdot \cos (\beta)= \overline{B C}

Inoltre si può osservare che:

\overline{AC} \cdot \sin(\gamma) = \overline{AB} \cdot \sin (\beta)

Spiegato dalla figura seguente.

Figura 2 Osservazione sul calcolo del segmento

Perciò per trovare il valore di  basta risolvere il seguente sistema:

\left \{ \begin{matrix} \overline{AC} \cdot \cos (\gamma)+\overline{AB} \cdot \cos (\beta)= \overline{B C} \\ \overline{AC} \cdot \sin(\gamma) = \overline{AB} \cdot \sin (\beta) \end{matrix} \right.

\left \{ \begin{matrix} \overline{AC} \cdot \cos (77)+\overline{AB} \cdot \cos (70)= 20 \\ \overline{AC} \cdot \sin(77) = \overline{AB} \cdot \sin (70) \end{matrix} \right.

\left \{ \begin{matrix} \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \cdot \cos (77)+\overline{AB} \cdot \cos (70)= 20 \\ \overline{AC} = \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \end{matrix} \right.

\left \{ \begin{matrix}  \overline{AB}= \frac{20}{\frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \cos (77) + \cos (70) } \\ \overline{AC} = \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \end{matrix} \right.

\left \{ \begin{matrix} \overline{AB} \approx 35.78 \\ \overline{AC} \approx 34.5 \end{matrix} \right.

2         Esercizio 6

2.1         Testo

In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.

Figura 3 Immagine che rappresenta il trapezio del problema

2.2         Soluzione

Siccome il trapezio è isoscele si sa che \overline {AD} = \overline {BC}

Chiamiamo la proiezione di C su \overline {AB} come C', si sa che l’angolo \widehat{C C^{\prime} B}=90^{\circ}, quindi il triangolo  è rettangolo in C'.

Per il triangolo CC^{\prime} B vale che:

\overline{C B} \cdot \sin 70^{\circ}=12 \rightarrow

\overline{C B}=\frac{12}{\sin 70^{\circ}} \approx 12.77

Da cui si può ricavare che:

\overline{C^{\prime} B}=\overline{C B} \cdot \cos 70^{\circ} \approx 4.1

E quindi:

\overline{A B}=\overline{A D^{\prime}}+\overline{D^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} B}

In cui D^{\prime} è la proiezione di D su \overline{AB}

Si può constatare che \overline{A D^{\prime}}=\overline{C^{\prime} B}.

Siccome la lunghezza della base minore è pari a \overline{ D^{\prime} C^{\prime}} si effettua la seguente operazione:

\overline{D^{\prime} C^{\prime}}=\overline{A B}-2 \cdot \overline{C^{\prime} B}=40-2 \cdot 4.1=31.8

Quindi il perimetro del trapezio è pari a:

P_{t p z}=40+12.77+12.77+31.8 \approx 95.34

E l’area del trapezio è pari a:

A_{t p z}=\frac{(40+31.8) \cdot 12}{2} \approx 430.8

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo al post:

Problemi sui triangoli qualunque

In fondo a questo post puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti qui di seguito.

1         Esercizio 1

1.1         Testo

Determina l’elemento incognito nelle seguenti figure:

Figura 1 Figure problema
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Calcolo della superficie totale di una piramide a base quadrata

Testo

Una piramide di base quadrata ha l’altezza lunga 15 \sqrt{3} cm, che forma un angolo di 30° con l’apotema di ogni singola faccia. Determina la superficie totale del solido.

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