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Come trovare l’altezza relativa allo spigolo della base di una piramide retta

Testo

Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato 6cm e di altezza congruente allo spigolo di base. Calcola la distanza dal centro della base da uno degli spigoli laterali.

Figura 1: Piramide dell’esercizio

Soluzione

Dal testo si evince che  gli spigoli di base \(AC=AB=BC=6cm\), e che l’altezza della piramide \(VO\), essendo congruente ad essi, è anch’essa 6cm.

Essendo il triangolo \(ABC\) alla base equilatero, possiamo facilmente calcolare la sua altezza:

\(CL=AB*(\frac{\sqrt{3}}{2})= 6* (\frac{\sqrt{3}}{2})=3{\sqrt{3}}cm\)

Adesso possiamo calcolare il raggio della circonferenza che circoscrive il triangolo equilatero alla base della piramide:

\(OL=(\frac{2*Area_{ABC}}{2*Perimetro_{ABC}})=(\frac{2*CL*AB}{2*3AB})=(\frac{2*3{\sqrt{3}}*6}{2*3*6})={\sqrt{3}}cm\)

Adesso possiamo calcolare \(AO\) che rappresenta l’ipotenusa del triangolo definito dai vertici \(AOL\). Usando il teorema di Pitagora:

\(AO={\sqrt{(\sqrt{3})^2+(3)^2}}={\sqrt{3+9}}+{\sqrt{12}}=2(\sqrt{3})cm\)

Si può notare adesso che il segmento \(OH\) che definisce la distanza tra il centro della base e lo spigolo laterale \(AB\) è l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo rettangolo definito dai vertici \(AVO\), conoscendo i suoi cateti definiti da \(AO\) e \(VO\) possiamo calcolarci l’ipotenusa \(AV\):

\(AV={\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(6)^2}}={\sqrt{12+36}}={\sqrt{48}}=4(\sqrt{3})cm\)

Possiamo finalmente calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa \(AV\) che corrisponde anche allo spigolo laterale della nostra piramide:

\(OH=(\frac{AO*VO}{AV})=(\frac{2(\sqrt{3})*6}{4(\sqrt{3})})=3cm\)

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Come risolvere esercizio n. 27 pag. 177 (Matematica.verde 3G)

Autore: Antonio Reno;

Revisore: Andrea Zedda

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 28 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 27 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si calcola l’equazione della retta passante per l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano ma anche come si trova la retta passante per un vertice del triangolo e parallela a un lato del triangolo stesso.

1 Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2,4), B(4,3) e C(2,-2), determinare:

  1. l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC;
  2. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC.

2 Soluzione

2.1 Punto 1

Utilizzando la formula della retta passante per due punti:

\( \frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \)

Trovando la retta che passa per AC:

\( r_{A C}: \frac{y+2}{4+2}=\frac{x-2}{-2-2} \rightarrow \)

\( \frac{y+2}{6}=\frac{x-2}{-4} \rightarrow-4(y+2)=6(x-2) \rightarrow-4 y-8=6 x-12 \)

Quindi…

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Come trovare l’equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate \( V(1 ; 0) \) e passante per il punto \( P(2; 1) \).

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

\( y=a x^{2}+b x+c\)

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

\( V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)\)

Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \( V(1 ; 0)\) e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} =1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \end{matrix}\right.\)

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \( P(2; 1)\) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto \( P\). Quindi:

\( 1=a(2)^{2}+b(2)+c\)

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right. \)

E l’equazione della parabola sarebbe:

\( y=x^2-2x+1\)

Rappresentata nella figura seguente:

Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola \( y=x^2-2x+1 \)